teorema de los 4 colores sin resumir

También se puede considerar el problema de colorear otras superficies mas allá del plano. El problema en una esfera o un cilindro es equivalente a un plano. Para superficies cerradas (orientables o no orientables) con género positivo, el numero máximo de colores p que se necesitan depende de la característica de Euler χ dados por la siguiente fórmula. donde los paréntesis externos determinan el piso de la función. Alternativamente, para una superficie orientable la fórmula puede ser dada en términos del género de la superficie, g: (Weisstein). Esta fórmula, la Conjetura de Heawood, fue conjeturada por P. J. Heawood en 1890 y probada por Gerhard Ringel y J. T. W. Youngs en 1968. La única excepción a la fórmula es la Botella de Klein, que tiene una característica de Euler 0 (de ahí la fórmula da p=7) y requiere 6 colores, como lo demostró P. Franklin en 1934 (Weisstein). Por ejemplo, el toro tiene una característica de Euler χ = 0 (y género g = 1) y por lo tanto p = 7, asi que no más de 7 colores son requeridos para colorear cualquier mapa sobre un toro. El Poliedro de Szilassi es un ejemplo que requiere 7 colores. Una Banda de Möbius también requiere 6 colores (Weisstein). No hay extensión obvia del problema de coloreo de regiones de sólidos tridimensionales. Usando un conjunto de n varillas flexibles, uno puede hacer que cada varilla toque a cada una de las otras. Elconjunto luego requerirá n colores, o n+1 si se considera que el espacio vacío también toca cada varilla. Para el número n puede tomarse un entero tan grande como se quiera. tales ejemplos fueron propuestos por Fredrick Gurthrie en 1880 (Wilson, 2002)